19 июня 2021, суббота, 20:39
VK.comFacebookTwitterTelegramInstagramYouTubeЯндекс.ДзенОдноклассники

НОВОСТИ

СТАТЬИ

PRO SCIENCE

МЕДЛЕННОЕ ЧТЕНИЕ

ЛЕКЦИИ

АВТОРЫ

14 мая 2021, 18:00

Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Издательство «Альпина нон-фикшн» представляет книгу Бена Орлина «Время переменных. Математический анализ в безумном мире» (перевод Виктории Краснянской, научный редактор Константин Кноп).

Преподаватель математики Бен Орлин выпустил продолжение своей нашумевшей книги «Математика с дурацкими рисунками». В новой книге сохранился не только авторский стиль рисунков, но и объяснения разнообразных математических понятий остались такими же доступными и интересными. Читатель познакомится с основными понятиями математического анализа, а попутно найдет ошибку в рассуждениях Шерлока Холмса, измерит длину Миссисипи в далеком прошлом и будущем и узнает, о чем математик Шарль Эрмит говорил: «Я с ужасом отворачиваюсь от этого прискорбного явления…»

Предлагаем прочитать фрагмент книги, в котором объясняется понятие производной.

 

Радости полета бутерброда, где математический анализ западает в душу

Перебравшись в Англию и впервые переступив порог частной школы, насчитывающей 462 года истории, где я должен был стать преподавателем, я никак не мог поверить в свою удачу. Каждое утро учителя собирались в комнате отдыха и пили чай с бутербродами.

Понятия «комната отдыха преподавателей» и «перерыв» уже были мне знакомы по прежнему месту работы. Но каждое утро бывать на пиру, словно в ожившей иллюстрации из жизни Хогвартса? «Я никогда к этому не привыкну», — говорил я своим новым коллегам.

Но я привык.

 

Ученые называют это ослаблением реакции на раздражитель. Это означает, что у меня было зрение как у динозавра: хорошо натренированный замечать то, что движется, я не замечал всего, что неподвижно, даже если оно было намазано маслом. Возможно, это явление имеет объяснение с точки зрения эволюционной психологии, а может быть, я неблагодарная скотина, но в любом случае привыкание поддается систематизации с точки зрения математики. Мы растем, привыкая к функции, каких бы высот она ни достигала. С течением времени для того, чтобы привлечь наше внимание, требуется производная — ненулевая величина изменений. Только более новая новизна может захватить нас.

 

Однажды, налив чашку горячего чая и пережевывая кусок зернового хлеба (тьфу ты, а я думал, что взял белый!), я присел на диван рядом со своим другом Джеймсом, учителем английского.

— Как дела? — поприветствовал я его.

Джеймс воспринял этот дежурный вопрос так, как он принимал всё: с полнейшей серьезностью.

— На этой неделе я счастлив, — ответил он. — С некоторыми вещами еще есть проблемы, но всё становится лучше.

Очевидно, в первую очередь я являюсь учителем математики, а уже во вторую — человеческим существом, потому что на откровение своего друга я ответил следующим образом:

— То есть функция твоего счастья принимает средние значения, но первая производная является положительной.

Джеймс мог вырвать бутерброд из моей руки, выплеснуть свой чай мне в лицо и завопить:

— Наша дружба кончена!

Вместо этого он улыбнулся, наклонился и — клянусь вам, всё так и было! — сказал:

— Звучит увлекательно. Объясни мне, что это значит.

 

— Ну, — начал я читать лекцию, — изобрази график изменения уровня своего счастья со временем. Линия проходит на средней высоте, но в данный момент поднимается — это и есть положительная производная.

— Понятно, — ответил он. — Значит, отрицательная производная означает, что дела идут хуже?

— Ну, — я увильнул от прямого ответа, — в каком-то роде.

Я демонстрировал педантичность, за которую математиков так любят. (Или правильно сказать «критикуют»?)

— Отрицательная производная означает, что значение уменьшается. Для некоторых функций — например, личного долга или физической боли — хотелось бы иметь отрицательную производную. Но в случае со счастьем — да, это не очень хорошо.

Это был довольно необычный первый урок по дифференциальному исчислению. Большинство студентов постигают эти идеи не с помощью зыбкой психологии функции «счастья», а через ясную и лаконичную физическую картину «положения». Например, обозначим положение велосипедиста на велодорожке как p. В начальной точке p = 0; через 800 м p = 0,8 км.

 

 

Что выражает здесь производная? То, как быстро p изменяется в определенный момент времени. Мы называем ее p´ (произносится «p штрих») или (более наглядно) «скорость».

Большое значение p´ — скажем, 14 м/с — означает, что положение изменяется быстро, скорость высока. Маленькое значение — к примеру, 0,6 м/с — говорит о низкой скорости. Если p´ равно нулю, то положение не меняется вообще: велосипед стоит на месте. А если p´ отрицательно, то мы движемся по дорожке назад: велосипедист сменил направление.

Из нашего первоначального графика (определяющего положение в каждый момент) мы можем вывести совершенно новый, определяющий скорость в каждый момент. Вот откуда взялось слово «производная» — она выводится, или производится.

 

 

Джеймс, умница, проникся математическим анализом так, будто это было неким видом инопланетной поэзии. Как учитель английского он был профессиональным исследователем языка и способности слов фиксировать человеческий опыт. В сухом языке производных он, кажется, нашел своеобразную «литературность».

— А есть еще и вторая производная, — сказал я.

Джеймс серьезно кивнул:

— Расскажи мне.

— Это производная производной, она говорит о том, как меняется величина изменений.

Джеймс нахмурился по вполне понятной причине: это была какая-то бессмыслица.

Я попытался снова.

— Производная — это величина улучшения твоего состояния. Вторая производная спрашивает: ты изменяешься всё быстрее и быстрее? Или улучшение замедляется?

 

— Хм-м-м-м, — Джеймс прикусил губу. — Я бы сказал, что быстрее и быстрее. Значит, вторая производная... положительная, верно?

— Да!

— А если улучшение замедляется, — продолжил он, — тогда первая производная по-прежнему остается положительной, а вторая становится отрицательной.

— Да.

— Мне это нравится, — сказал Джеймс. — Я должен научить этому всех своих друзей. И когда они будут спрашивать, как мои дела, я смогу сообщать им о своем эмоциональном состоянии с помощью всего нескольких показателей.

— Что-то вроде: h положительная, h штрих отрицательная, h два штриха положительная?

— О-о-о, дай подумать! — Джеймс воспринял мое заявление как лингвистическую загадку, краткую и безыскусную форму записи. — Это означает... Я счастлив... И я становлюсь менее счастлив... Но снижение моего уровня счастья замедляется?

— Всё верно.

 

Для выражения тонких оттенков эмоций этот язык может показаться неестественным или топорным, как заявления «Человек счастлив» или «Человек грустит». Но, как и все производные, это что-то вроде физической метафоры — аналогия движения через пространство.

Как мы уже видели на примере велосипеда, производной положения является скорость. А производная скорости? Это ускорение. (Его также можно назвать p´´, или «p два штриха».)

Производные и вторые производные дают четкую информацию. Чтобы понять разницу, представьте себе ракету сразу после отрыва от земли, когда лица астронавтов расползаются, как желе. Скорость еще низкая, но изменения происходят быстро, поэтому ускорение высокое.

 

Может быть и обратная ситуация. Летящий на эшелоне самолет имеет высокую скорость, но она является постоянной и не меняется, поэтому ускорение равно нулю.

(Как показывают эти примеры, скорость оказывает не очень большое влияние на наши тела. Биомеханическое значение — то, что сдавливает, вызывает тошноту, замешательство и восторг, — имеет ускорение, так как оно представляет собой воздействующую на нас силу.)

 

«Поэзия начинается с тривиальных метафор, — написал однажды Роберт Фрост, — затем идут недурные метафоры, "изящные" метафоры, пока, наконец, не приходит черед глубоких размышлений». Не уверен, что Фрост нашел бы много поэтического в производных — они являются безнадежно прямыми, говорят только об одной вещи с досадной точностью, — но почва здесь богата метафорами. Если скорость говорит нам об изменении положения, то и ускорение говорит об изменении скорости, и точно так же соответствующая производная указывает на изменения в счастье.

Джеймс — не последний знаток метафор — знал, какой вопрос нужно задать следующим:

— А что насчет третьей производной?

В физике третья производная (p´´´, или «p три штриха») называется рывком. Она определяет изменение в ускорении, которое приводит к изменению силы, воздействующей на тело. Представьте себе мгновение, когда водитель резко нажимает на тормоза автомобиля, или момент отрыва ракеты от пусковой установки, или микросекунду, когда кулак врезается в лицо. Появляется новая сила. Ускорение меняется.

Я никогда не обучал рывку, кроме как в книгах. Три производных — это чертовски много. «Конечно, тот, кто может усвоить вторую или третью флюксию, — писал философ XVIII в. Джордж Беркли, используя термин, который Ньютон применял для производных, — как я думаю, разберется с любой проблемой божественной природы».

— Это довольно сложно понять, — предупредил я Джеймса. — Физическое объяснение достаточно хитрое.

Но в следующие пять минут я пересмотрел взгляды, заполучив в свои сети ярого приверженца математического анализа.

— Не сдавайся! — выкрикнул Джеймс. — Третья производная — это просто: это изменение в изменении изменения моего счастья.

Он говорил всё громче, коллеги уже с тревогой оглядывались на нас.

— На самом деле я должен получить все производные! Бесконечный каталог чисел, описывающий, как меняется мое счастье, и как меняется изменение, и как меняется изменение изменения... Тогда мои друзья смогут точно понять, как я себя чувствую, даже без единого слова.

— Это так, — сказал я. — По правде говоря, если они будут точно знать, как изменяется твое счастье в данный конкретный момент — всю бесконечную цепочку производных, — тогда они смогут предсказать твое эмоциональное состояние как угодно далеко в будущем. При наличии достаточного количества производных они смогут рассчитать твое счастье до конца жизни.

— Еще лучше! — Джеймс бешено рассмеялся и захлопал в ладоши. — Мне больше никогда не придется говорить с друзьями!

Я забеспокоился:

— А не окажет ли это само по себе отрицательное воздействие на твой уровень счастья?

Джеймс отмел все возражения:

— Я просто выражу всё в производных. Они поймут.

И тут прозвенел звонок. Даже учительский рай приходится иногда покидать, чтобы провести уроки. Отправляясь в класс, я оставил чайную чашку на стойке. Надеюсь, я пробормотал слова благодарности Саре — женщине, которая готовила для нас бутерброды и мыла посуду, — но, зная о своих дурных привычках в то время, могу сказать, что случались дни, когда я забывал это сделать.

Обсудите в соцсетях

«Ангара» Африка Византия Вселенная Гренландия ДНК Иерусалим КГИ Луна МГУ МФТИ Марс Монголия НАСА РБК РВК РГГУ РадиоАстрон Роскосмос Роспатент Росприроднадзор Русал СМИ Сингапур Солнце Титан Юпитер акустика антибиотики античность антропогенез археология архитектура астероиды астронавты астрофизика бактерии бедность библиотеки биоинформатика биомедицина биомеханика бионика биоразнообразие биотехнологии блогосфера вакцинация викинги виноделие вирусы воспитание вулканология гаджеты генетика география геология геофизика геохимия гравитация грибы дельфины демография демократия дети динозавры животные здоровье землетрясение змеи зоопарк зрение изобретения иммунология импорт инновации интернет инфекции ислам исламизм исследования история карикатура картография католицизм кельты кибернетика киты клад климатология клонирование комары комета кометы компаративистика космос кошки культура культурология лазер лексика лженаука лингвистика льготы малярия мамонты математика материаловедение медицина металлургия метеориты микробиология микроорганизмы мифология млекопитающие мозг моллюски музеи насекомые наука нацпроекты неандертальцы нейробиология неолит обезьяны общество онкология открытия палеоклиматология палеолит палеонтология память папирусы паразиты перевод питание планетология погода политика право приматы природа психиатрия психоанализ психология психофизиология птицы путешествие пчелы ракета растения религиоведение рептилии робототехника рыбы сердце смертность собаки сон социология спутники средневековье старение старообрядцы стартапы статистика табак такси технологии тигры топливо торнадо транспорт ураган урбанистика фармакология физика физиология фольклор химия христианство цифровизация школа экзопланеты экология электрохимия эпидемии эпидемиология этология язык Александр Беглов Алексей Ананьев Дмитрий Козак Древний Египет Западная Африка Латинская Америка НПО «Энергомаш» Нобелевская премия РКК «Энергия» Российская империя Сергиев Посад Солнечная система альтернативная энергетика аутизм биология бозон Хиггса вымирающие виды глобальное потепление грипп защита растений инвазивные виды информационные технологии искусственный интеллект история искусства история цивилизаций исчезающие языки квантовая физика квантовые технологии климатические изменения компьютерная безопасность компьютерные технологии космический мусор криминалистика культурная антропология культурные растения междисциплинарные исследования местное самоуправление мобильные приложения научный юмор облачные технологии обучение одаренные дети педагогика персональные данные подготовка космонавтов преподавание истории продолжительность жизни происхождение человека русский язык сланцевая революция темная материя физическая антропология финансовый рынок черные дыры эволюция эволюция звезд эмбриональное развитие этнические конфликты ядерная физика Вольное историческое общество Европейская южная обсерватория жизнь вне Земли естественные и точные науки НПО им.Лавочкина Центр им.Хруничева История человека. История институтов дело Baring Vostok Протон-М 3D Apple Big data Dragon Facebook Google GPS IBM MERS PayPal PRO SCIENCE видео ProScience Театр SpaceX Tesla Motors Wi-Fi

Редакция

Электронная почта: polit@polit.ru
Телефон: +7 929 588 33 89
Яндекс.Метрика Top.Mail.Ru
Свидетельство о регистрации средства массовой информации
Эл. № 77-8425 от 1 декабря 2003 года. Выдано министерством
Российской Федерации по делам печати, телерадиовещания и
средств массовой информации. Выходит с 21 февраля 1998 года.
При любом использовании материалов веб-сайта ссылка на Полит.ру обязательна.
При перепечатке в Интернете обязательна гиперссылка polit.ru.
Все права защищены и охраняются законом.
© Полит.ру, 1998–2021.